Moving Average Schatzparameter




Moving Average SchätzparameterIn der Praxis liefert der gleitende Durchschnitt eine gute Schatzung des Mittelwerts der Zeitreihe, wenn der Mittelwert konstant ist oder sich langsam andert. Im Fall eines konstanten Mittelwertes wird der gr?te Wert von m die besten Schatzungen des zugrunde liegenden Mittels liefern. Ein langerer Beobachtungszeitraum wird die Effekte der Variabilitat ausmachen. Der Zweck der Bereitstellung eines kleineren m ist es, die Prognose auf eine Anderung in dem zugrunde liegenden Prozess zu ermoglichen. Um zu veranschaulichen, schlagen wir einen Datensatz vor, der Anderungen im zugrundeliegenden Mittel der Zeitreihen enthalt. Die Abbildung zeigt die Zeitreihen fur die Darstellung zusammen mit der mittleren Nachfrage, aus der die Serie generiert wurde. Der Mittelwert beginnt als eine Konstante bei 10. Ab dem Zeitpunkt 21 erhoht er sich um eine Einheit in jeder Periode, bis er zum Zeitpunkt 30 den Wert von 20 erreicht. Dann wird er wieder konstant. Die Daten werden simuliert, indem dem Mittelwert ein Zufallsrauschen aus einer Normalverteilung mit Nullmittelwert und Standardabweichung 3 zugefuhrt wird. Die Ergebnisse der Simulation werden auf die nachste Ganzzahl gerundet. Die Tabelle zeigt die simulierten Beobachtungen fur das Beispiel. Wenn wir die Tabelle verwenden, mussen wir bedenken, dass zu einem gegebenen Zeitpunkt nur die letzten Daten bekannt sind. Die Schatzwerte des Modellparameters, fur drei verschiedene Werte von m, werden zusammen mit dem Mittelwert der Zeitreihen in der folgenden Abbildung gezeigt. Die Abbildung zeigt die gleitende durchschnittliche Schatzung des Mittelwerts zu jedem Zeitpunkt und nicht die Prognose. Die Prognosen wurden die gleitenden Durchschnittskurven nach Perioden nach rechts verschieben. Eine Schlussfolgerung ergibt sich unmittelbar aus der Figur. Fur alle drei Schatzungen liegt der gleitende Durchschnitt hinter dem linearen Trend, wobei die Verzogerung mit m zunimmt. Die Verzogerung ist der Abstand zwischen dem Modell und der Schatzung in der Zeitdimension. Wegen der Verzogerung unterschatzt der gleitende Durchschnitt die Beobachtungen, wahrend der Mittelwert zunimmt. Die Vorspannung des Schatzers ist die Differenz zu einer bestimmten Zeit im Mittelwert des Modells und dem Mittelwert, der durch den gleitenden Durchschnitt vorhergesagt wird. Die Vorspannung, wenn der Mittelwert zunimmt, ist negativ. Bei einem abnehmenden Mittelwert ist die Vorspannung positiv. Die Verzogerung in der Zeit und die Bias in der Schatzung eingefuhrt sind Funktionen von m. Je gro?er der Wert von m. Desto gro?er ist die Gro?e der Verzogerung und der Vorspannung. Fur eine stetig wachsende Serie mit Trend a. Die Werte der Verzogerung und der Vorspannung des Schatzers des Mittelwerts sind in den folgenden Gleichungen gegeben. Die Beispielkurven stimmen nicht mit diesen Gleichungen uberein, da das Beispielmodell nicht kontinuierlich zunimmt, sondern als Konstante beginnt, sich in einen Trend andert und dann wieder konstant wird. Auch die Beispielkurven sind vom Rauschen betroffen. Die gleitende Durchschnittsprognose der Perioden in die Zukunft wird durch die Verschiebung der Kurven nach rechts dargestellt. Die Verzogerung und die Vorspannung nehmen proportional zu. Die nachstehenden Gleichungen zeigen die Verzogerung und die Vorspannung von Prognoseperioden in die Zukunft im Vergleich zu den Modellparametern. Diese Formeln sind wiederum fur eine Zeitreihe mit einem konstanten linearen Trend. Wir sollten dieses Ergebnis nicht uberraschen. Der gleitende Durchschnittsschatzer basiert auf der Annahme eines konstanten Mittelwerts, und das Beispiel hat einen linearen Trend im Mittel wahrend eines Teils des Studienzeitraums. Da Realzeitreihen den Annahmen eines Modells nur selten gehorchen, sollten wir auf solche Ergebnisse vorbereitet sein. Wir konnen auch aus der Figur schlie?en, dass die Variabilitat des Rauschens den gro?ten Effekt fur kleinere m hat. Die Schatzung ist viel volatiler fur den gleitenden Durchschnitt von 5 als der gleitende Durchschnitt von 20. Wir haben die widerstrebenden Wunsche, m zu erhohen, um den Effekt der Variabilitat aufgrund des Rauschens zu verringern und m zu verringern, um die Prognose besser auf Veranderungen anzupassen Im Mittel. Der Fehler ist die Differenz zwischen den tatsachlichen Daten und dem prognostizierten Wert. Wenn die Zeitreihe wirklich ein konstanter Wert ist, ist der erwartete Wert des Fehlers Null und die Varianz des Fehlers besteht aus einem Term, der eine Funktion von und ein zweiter Term ist, der die Varianz des Rauschens ist. Der erste Term ist die Varianz des Mittelwertes mit einer Stichprobe von m Beobachtungen, vorausgesetzt, die Daten stammen aus einer Population mit einem konstanten Mittelwert. Dieser Begriff wird minimiert, indem man m so gro? wie moglich macht. Ein gro?es m macht die Prognose auf eine Anderung der zugrunde liegenden Zeitreihen unempfanglich. Um die Prognose auf Veranderungen anzupassen, wollen wir m so klein wie moglich (1), aber dies erhoht die Fehlerabweichung. Praktische Voraussage erfordert einen Zwischenwert. Prognose mit Excel Das Prognose-Add-In implementiert die gleitenden Durchschnittsformeln. Das folgende Beispiel zeigt die Analyse des Add-In fur die Beispieldaten in Spalte B. Die ersten 10 Beobachtungen sind mit -9 bis 0 indexiert. Im Vergleich zur obigen Tabelle werden die Periodenindizes um -10 verschoben. Die ersten zehn Beobachtungen liefern die Startwerte fur die Schatzung und werden verwendet, um den gleitenden Durchschnitt fur die Periode 0 zu berechnen. Die Spalte MA (10) zeigt die berechneten Bewegungsdurchschnitte. Der gleitende Mittelwert m ist in Zelle C3. Die Fore (1) Spalte (D) zeigt eine Prognose fur einen Zeitraum in die Zukunft. Das Prognoseintervall ist in Zelle D3. Wenn das Prognoseintervall auf eine gro?ere Zahl geandert wird, werden die Zahlen in der Spalte Vorwarts verschoben. Die Err (1) - Spalte (E) zeigt die Differenz zwischen der Beobachtung und der Prognose. Zum Beispiel ist die Beobachtung zum Zeitpunkt 1 6. Der prognostizierte Wert, der aus dem gleitenden Durchschnitt zum Zeitpunkt 0 gemacht wird, betragt 11,1. Der Fehler ist dann -5.1. Die Standardabweichung und mittlere mittlere Abweichung (MAD) werden in den Zellen E6 bzw. E7 berechnet.8.4 Gleitende Durchschnittsmodelle Anstatt fruhere Werte der Prognosevariablen in einer Regression zu verwenden, verwendet ein gleitendes Durchschnittsmodell vergangene Prognosefehler in einem regressionsahnlichen Modell . Y c et the theta e dots theta e, wobei et wei?es Rauschen ist. Wir bezeichnen dies als MA (q) - Modell. Naturlich beobachten wir nicht die Werte von et, also ist es nicht wirklich Regression im ublichen Sinne. Man beachte, da? jeder Wert von yt als gewichteter gleitender Durchschnitt der letzten Prognosefehler betrachtet werden kann. Jedoch sollten gleitende Durchschnittsmodelle nicht mit der gleitenden glatten Glattung verwechselt werden, die wir in Kapitel 6 besprochen haben. Ein gleitendes Durchschnittsmodell wird fur die Prognose zukunftiger Werte verwendet, wahrend die gleitende gleitende Durchschnittskurve fur die Abschatzung des Trendzyklus der vergangenen Werte verwendet wird. Abbildung 8.6: Zwei Beispiele fur Daten aus gleitenden Durchschnittsmodellen mit unterschiedlichen Parametern. Links: MA (1) mit yt 20e t 0,8e t-1. Rechts: MA (2) mit y t e t - e t-1 0,8e t-2. In beiden Fallen ist e t normal verteiltes Wei?rauschen mit Mittelwert Null und Varianz Eins. Abbildung 8.6 zeigt einige Daten aus einem MA (1) - Modell und einem MA (2) - Modell. Das Andern der Parameter theta1, dots, thetaq fuhrt zu unterschiedlichen Zeitreihenmustern. Wie bei autoregressiven Modellen wird die Varianz des Fehlerterms et nur den Ma?stab der Reihe andern, nicht die Muster. Es ist moglich, jedes stationare AR (p) - Modell als MA (infty) - Modell zu schreiben. Beispielsweise konnen wir dies bei einem AR (1) - Modell demonstrieren: begin yt amp phi1y et amp phi1 (phi1y e) et amp phi12y phi1 e et amp phi13y phi12e phi1 e et amptext end Vorausgesetzt -1 lt phi1 lt 1 wird der Wert von phi1k kleiner, wenn k gro?er wird. So erhalten wir schlie?lich yt und phi1 e phi12 e phi13 e cdots, ein MA (infty) Prozess. Das umgekehrte Ergebnis gilt, wenn wir den MA-Parametern einige Einschrankungen auferlegen. Dann wird das MA-Modell invertierbar. Das hei?t, dass wir alle invertierbaren MA (q) Prozess als AR (infty) Prozess schreiben konnen. Invertible Modelle sind nicht einfach, damit wir von MA-Modellen auf AR-Modelle umwandeln konnen. Sie haben auch einige mathematische Eigenschaften, die sie in der Praxis einfacher zu verwenden. Die Invertibilitatseinschrankungen ahneln den stationaren Einschrankungen. Fur ein MA (1) Modell: -1lttheta1lt1. Fur ein MA (2) - Modell: -1lttheta2lt1, theta2theta1 gt-1, theta1 - theta2 lt 1. Kompliziertere Bedingungen gelten fur qge3. Wiederum wird R diese Einschrankungen bei der Schatzung der Modelle kummern. Eine neue Methode zur Verschiebung der durchschnittlichen Parameterschatzung Wir stellen eine scheinbar originelle Methode fur die gleitende durchschnittliche Parameterschatzung, basierend auf Kovarianzanpassung und konvexer Optimierung, vor. Das vorgeschlagene Verfahren wird mittels numerischer Simulation gezeigt, um in schwierigen Szenarien viel genauere Parameterschatzungen bereitzustellen, als dies mit einer verwandten existierenden Methode der Fall ist. Wir leiten die neue Methode uber eine Analogie mit einer Kovarianz-Interpretation der Capon-Strahlformung aus der Arrayverarbeitung ab. Dabei zeigen wir auch einige neue Fakten zur Capon-Beamforming. 2010 IEEE. Titel der Aufnahmeveroffentlichung Konferenzbericht - Asilomar Konferenz zu Signalen, Systemen und Computern Anzahl der Seiten 44. Asilomar Konferenz uber Signale, Systeme und Computer, Asilomar 2010 - Pacific Grove, CA, Vereinigte Staaten 44. Asilomar Konferenz uber Signale, Systeme und Computer, Asilomar 2010 P. Du, L. Li, J. amp. Georgiou, T. (2010). Padagogische Psychologie und Psychotherapie. Eine neue Methode zur Verschiebung der durchschnittlichen Parameterschatzung. In Konferenzbericht - Asilomar Konferenz uber Signale, Systeme und Computer. (Seiten 1817-1820). 5757855 DOI: 10.1109ACSSC.2010.5757855 Eine neue Methode zur gleitenden durchschnittlichen Parameterschatzung. Stoica, Petre Du, Lin Li, Jian Georgiou, Tryphon. Konferenzbericht - Asilomar Konferenz uber Signale, Systeme und Computer. P. 1817-1820 5757855. Forschungsleistung. Kapitel in BookReportKonferenzverfahren Konferenzbeitrag Stoica, P, Du, L, Li, J amp Georgiou, T 2010, Eine neue Methode fur die gleitende durchschnittliche Parameterschatzung. In Konferenzbericht - Asilomar Konferenz uber Signale, Systeme und Computer. . 5757855, S. 1817-1820, 44. Asilomar Konferenz uber Signale, Systeme und Computer, Asilomar 2010, Pacific Grove, CA, Vereinigte Staaten, 7-10 November. DOI: 10.1109ACSSC.2010.5757855 Stoica P, Du L, Li J, Georgiou T. Eine neue Methode zur gleitenden durchschnittlichen Parameterschatzung. In Konferenzbericht - Asilomar Konferenz uber Signale, Systeme und Computer. P. 1817-1820. 5757855. Verfugbar von, DOI: 10.1109ACSSC.2010.5757855 Stoica, Petre Du, Lin Li, Jian Georgiou, Tryphon Eine neue Methode fur gleitende durchschnittliche Parameterschatzung. Konferenzbericht - Asilomar Konferenz uber Signale, Systeme und Computer. P. 1817-1820 5757855. Forschungsleistung. Kapitel in BookReportKonferenzverfahren Konferenzbeitragstitel Eine neue Methode zur gleitenden durchschnittlichen Parameterschatzung,